高考数学复习点拨 集合运算典例解析VIP免费

集合运算典例解析例1设集合A＝｛x∈Z｜-10≤x≤-1｝，B＝｛x∈Z｜｜x｜≤5｝，则A∪B中的元素个数是()A.11B.10C.16D.15分析符号“∪”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A＝｛-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1｝，B＝｛-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5｝，因此，A∪B＝｛-10，-9，…，5｝，共含16个元素.∴选C.例2已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求A∪B的元素个数.解：设A∪B＝U，因为card(A)＝12，card(B)＝12，且card(A∩B)＝4，所以card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)＝12+12-4＝20。点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(A∩B)等含义相同，它们之间有公式：card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B).例3试证A∪(A∩B)＝A.证明：A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝A.点评： AA∪B∴A∩(A∪B)＝A.例4在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?分析本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得a+b+c+d+e+f+g＝25,①b+f＝2(c+f),②a＝d+e+g+1,③a＝b+c.④②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧用心爱心专心由于c≥0，所以b≤6.利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52.因为f≥0，所以b≥5.则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.例5已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.错解： A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3，2｝，且B∪A＝A，∴B＝｛-3｝，或B＝｛2｝，即-3m+1＝0，或2m+1＝0.故m∈｛,-｝.分析：问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝ABA及是任何集合的子集.正确解： A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝，或B＝，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.故实数m∈｛,-，0｝.例6填空题(1)已集集合A＝｛y｜y＝x2-6x+6,x∈R｝,B＝｛y｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿(2)已知集合A＝｛(x,y)｜y＝x2-6x+6,x∈R｝，B＝｛(x,y)｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿。(3)已知集合A的元素满足方程4a2+＝4a-1，a,b∈R，集合B＝｛x｜x(x2-1)(4x2-1)＝0｝.则A∩B＝＿＿＿＿。分析要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?它们分别有什么特征?(1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.解：(1)由A知，y＝(x-3)2-3≥-3；由B知,y＝-(x-3)2+3≤3.利用数轴不难看出：A∩B＝｛y｜-3≤y≤3｝.用心爱心专心(2)A∩B应该是这两条抛物线的交点，即解方程组解得方程组有两组解(3+，0)和(3-，0).∴A∩B＝｛3+,0｝,(3-,0)｝.(3)将方程4a2+＝4a-1配方，得(2a-1)2+＝0. a、b∈R，∴a＝21且b＝-1.∴A＝｛(a,b)｜(21，-1)｝.解方程x(x2-1)(4x2-1)＝0，得x＝0，或x＝±1，或x＝±21.∴B＝｛-1，-21，0，21，1｝.∴A∩B＝.点评：解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A＝｛-1，21｝，从而得出A∩B＝｛-1，21｝.应引起我们的重视.例7已知集合A＝｛1，3，-x3｝，B＝｛1，x+2｝.是否存在实数x，...