6.3平面向量线性运算的应用课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|⃗OB−⃗OC|=|⃗OB+⃗OC-2⃗OA|,则△ABC的形状不可能是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案AD解析设点M为BC边的中点,由题意可得:|⃗OB−⃗OC|=|⃗CB|,|⃗OB+⃗OC-2⃗OA|=|2⃗OM-2⃗OA|=2|⃗AM|,据此结合题意可知:CB=2AM,由三角形的性质可知:△ABC的形状是直角三角形.故选AD.2.已知△ABC满足⃗AB|⃗AB|−⃗AC|⃗AC|=k⃗BC(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是()A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案C解析△ABC中,⃗AB|⃗AB|−⃗AC|⃗AC|=k×⃗BC(其中k是非零常数),如图所示;∴⃗AB|⃗AB|−⃗AC|⃗AC|=k×(⃗AC−⃗AB),∴⃗AB|⃗AB|+k⃗AB=k⃗AC+⃗AC|⃗AC|,∴(1|⃗AB|+k)⃗AB=(k+1|⃗AC|)⃗AC,又⃗AB、⃗AC不共线,∴1|⃗AB|+k=k+1|⃗AC|=0,∴|⃗AB|=|⃗AC|,∴△ABC是等腰三角形.故选C.3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为()A.5❑√3NB.5NC.10ND.5❑√2N答案A解析由题意可知:对应向量如图,由于α=60°,∴F2的大小为|F合|·sin60°=10×❑√32=5❑√3.故选A.4.河水从东向西流,流速为2km/h,一艘船以2❑√3km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是km/h.答案4解析由题意,如图,⃗OA表示水流速度,⃗OB表示船在静水中的速度,则⃗OC表示船的实际速度,则|⃗OA|=2,|⃗OB|=2❑√3,∠AOB=90°,∴|⃗OC|=4.5.△ABC所在平面上一点P满足⃗PA+⃗PC=m⃗AB(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为.答案12解析取AC的中点O,则 ⃗PA+⃗PC=m⃗AB(m>0,m为常数),∴m⃗AB=2⃗PO,∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍,故S△ABC=2S△ABP=12.6.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)和合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为.答案(-5,1)解析因为F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),所以F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(x,y)=0,所以(3+2+x,4-5+y)=0,所以{x+5=0,y-1=0,解得x=-5,y=1.所以F3的坐标为(-5,1).7.在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?解如图所示,设向量⃗OA的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量⃗OB的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以⃗OA,⃗OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.能力提升1.已知点O是△ABC内部一点,并且满足⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则S1S2=()A.16B.13C.23D.34答案A解析因为⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0,所以⃗OA+⃗OC=-2(⃗OB+⃗OC),分别取AC,BC的中点D,E,则⃗OA+⃗OC=2⃗OD,⃗OB+⃗OC=2⃗OE.所以⃗OD=-2⃗OE,即O,D,E三点共线且|⃗OD|=2|⃗OE|.如图所示,则S△OBC=13S△DBC,由于D为AC中点,所以S△DBC=12S△ABC,所以S△OBC=16S△ABC.故选A.2.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若⃗MN=λ1⃗AM+λ2⃗BN,λ1,λ2∈R,则λ1+λ2的值为.答案25解析设AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M(a,12b),N(12a,b),则⃗MN=(-12a,12b),⃗AM=(a,12b),⃗BN=(-12a,b),即(-12a,12b)=λ1(a,12b)+λ2(-12a,b),则{-12a=λ1a-12λ2a,12b=12bλ1+λ2b,即{-12=λ1-12λ2,12=12λ1+λ2,解得λ1=-15,λ2=35,则λ1+λ2=25.3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,⃗AB=(2,4),⃗AC=(1,3),则⃗AD的坐标为,⃗BD的坐标为.答案(-1,-1)(-3,-5)解析因为⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),⃗AD=⃗BC=(-1,-1),所以⃗BD=⃗AD−⃗AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).4.如图,已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=❑√3m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|=❑√3m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.解如图,设⃗OA=v0,⃗OB=v1,⃗OC=v2,则由题意知v2=...
