第11节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号讨论函数的单调性1,2,10求函数单调区间4,14由单调性求参数范围3,6,7,8,9,10,11综合应用问题5,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015广东实验中学模拟)已知函数f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)在原点附近的图像大致是(A)解析:函数f(x)=x2+2cosx,所以f′(x)=2x-2sinx=2(x-sinx),f′(-x)=-2x+2sinx=-(2x-2sinx)=-f′(x),即导函数是奇函数,令u(x)=x-sinx,则u′(x)=1-cosx≥0恒成立,则u(x)为增函数,即f′(x)为增函数,只有A符合.2.(2015厦门模拟)函数f(x)=xlnx,则(D)(A)在(0,+∞)上递增(B)在(0,+∞)上递减(C)在（0,）上递增(D)在（0,）上递减解析:因为函数f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,f′(x)>0,解得x>,则函数的单调递增区间为（,+∞）,又由f′(x)<0,解得0
0x⇒2+2x-3<0-3f(b)(D)f(a),f(b)大小关系不能确定解析:因为f′(x)=-=,当x<1时有f′(x)<0,f(x)为减函数,从而有f(a)>f(b).6.已知函数f(x)=-x3+mx2-3x-1在区间[1,3]上是增函数,则m的取值范围是(D)(A)[4,+∞)(B)(-∞,4](C)(5,+∞)(D)[5,+∞)解析:求导,得f′(x)=-3x2+2mx-3,由函数f(x)在区间[1,3]上是增函数,可得f′(x)≥0,即-3x2+2mx-3≥0在区间[1,3]上恒成立.因为x∈[1,3],故分离参数,得m≥=（x+）.令g(x)=（x+）,x∈[1,3],则g′(x)=（1-）,因为x∈[1,3],所以g′(x)≥0,故函数g(x)在[1,3]上为增函数.所以g(x)≤g(3)=（3+）=5.要使不等式m≥（x+）在[1,3]上恒成立,则m≥5.所以m的取值范围为[5,+∞).故选D.7.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m=.解析:由已知得,m2-4=0,所以m=±2.因为g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,则g′(x)≤0恒成立,即-3x2+4x+m≤0恒成立,亦即3x2-4x-m≥0恒成立.所以Δ=16+12m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-28.若函数f(x)=x2-lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围.解析:由题意可知,k-1≥0,k≥1,又因为f′(x)=2x-=,所以f(x)在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增,所以k-1<0)为R上的单调函数,则a的取值范围为.解析:若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合f′(x)=ex与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,并结合a>0,知00,从而f′(x)=0有两个根:x1=,x2=.若00,故f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数;当x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;若a<0,则当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减函数;当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,故f(x)在(x1,x2)上是增函数.(2)当a>0,x>0时,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数.当a<0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数,当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得-≤a<0.综上,a的取值范围是[-,0)∪(0,+∞).能力提升练(时间:15分钟)11.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数...
