第7讲正弦定理和余弦定理一、填空题1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________．解析由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，∴b2＋c2－a2≥bc，cosA＝≥，所以0＜A≤.答案2．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝.答案3．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是由cos120°＝＝－，解得b＝10，S＝bcsin120°＝15.答案154．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________.解析∵tanA＝2＞0，∴A为锐角，又＝2①，sin2A＋cos2A＝1②由①②得sinA＝.a＝＝＝＝2.答案25.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC＝________.解析设AB＝a，∴BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝，∴sinA＝＝，由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.答案6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A角大小为________．解析由a2－b2＝bc，c＝2b，得a2＝7b2，所以cosA＝＝＝，所以A＝.答案7．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝________.解析由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为，且B＝30°，故由S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝ac＝，得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理cosB＝＝＝＝.解得b2＝4＋2.又因为b为边长，故b＝1＋.答案1＋8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝________.解析由1＋＝和正弦定理得cosA＝，∴A＝60°.由正弦定理得＝，∴sinC＝，又c
