2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程实战演练理1．(2017·湖南模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是②③.解析：设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为·＝a2.∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．S△F1PF2＝|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2＝a2·sin∠F1PF2≤a2，故③正确．2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解析：由题设知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a||DF|＝|b－a|，S△PQF＝.由题设可得2×|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)，或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1.3．(2017·江西模拟)定长为3的线段AB两端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且AM＝2MB.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设过F(0，)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于G，H两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DG，DH为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解析：(1)设A(x1,0)，B(0，y1)，M(x，y)，则∴|AB|＝3＝，即＋x2＝1.(2)存在满足条件的点D.设满足条件的点D(0，m)，则0≤m≤.设l的方程为y＝kx＋(k≠0)，代入轨迹方程，得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.1∵以DG，DH为邻边的平行四边形为菱形，∴(DG＋DH)⊥GH.∵DG＋DH＝(x1，y1－m)＋(x2，y2－m)＝(x1＋x2，y1＋y2－2m)＝，设GH的方向向量为(1，k)，∵(DG＋DH)·GH＝0，∴－＋－2mk＝0，即m＝.∵k2>0，∴m＝<<，∴0
