高考数学二轮总复习 课时跟踪检测（二十）圆锥曲线中的定点、定值问题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测(二十)圆锥曲线中的定点、定值问题A卷1．(2019·广东佛山普通高中月考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)过点A(－2,0)的直线l与C2交于M，N不同的两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解：(1)依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，令x＝c得y2＝4ac，即y＝±2，所以4＝4，所以ac＝2.则解得a＝2，b＝，所以椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在且不为0，可设l：x＝my－2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M′(x1，－y1)，联立消去x，得y2－8my＋16＝0，由Δ>0，得m<－1或m>1.因为y1＋y2＝8m，y1y2＝16，所以m＝，所以直线M′N的斜率kM′N＝＝＝，可得直线M′N的方程为y－y2＝(x－x2)，即y＝x＋y2－＝x＋＝x－＝(x－2)，所以当m<－1或m>1时，直线M′N恒过定点(2,0)．2．(2019·江西模拟)在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线y＝－x于点N，若NA＝mAM，NB＝nBM，求证：m＋n为定值，并求出此定值．解：(1)由已知得，2a＝8，a＝2c，则a＝4，c＝2，又b2＝a2－c2，∴b2＝12，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由NA＝mAM，得＝m(1－x1,3－y1)，∴x1＝，y1＝，∴A，∵点A在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，得到9m2＋96m＋48－x＝0；同理，由NB＝nBM，可得9n2＋96n＋48－x＝0.∴m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－x＝0的两个根，则m＋n＝－为定值．B卷1．(2019·河南模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝r2(r>0)和C2：＋＝1(a>b>0)都过点P(0，－2)，且曲线C2的离心率为.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1＝4k2>0时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)曲线C1：x2＋y2＝r2(r>0)和C2：＋＝1(a>b>0)都过点P(0，－2)，∴r＝2，b＝2，∴曲线C1的方程为x2＋y2＝4.∵曲线C2的离心率为，∴e2＝＝1－＝，∴a＝4，∴曲线C2的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4，消去y，可得(1＋k)x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝，∴y1＝，直线PB的方程为y＝k2x－2，代入方程＋＝1，消去y，可得(1＋4k)x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝，∴y2＝.∵k1＝4k2，∴直线AB的斜率k＝＝－，故直线AB的方程为y－＝－，即y＝－x＋2，∴直线AB恒过定点(0,2)．2．(2019·顺义区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且OM＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，其中O为原点，求证：λ2＋μ2＝1.解：(1)设椭圆的焦距为2c，∵＝，∴＝，故a2＝3b2.①∵a＝，∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.②(2)证明：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OM＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，故x＝λx1＋μx2，y＝λy1＋μy2.③又∵点M在椭圆C上，∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3.整理可得λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3.④又焦点F的坐标为(，0)，∴AB所在的直线方程为y＝x－，代入方程＋y2＝1，得4x2－6x＋3＝0.x1＋x2＝，x1x2＝，∴x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3(x1＋x2)＋6＝3－9＋6＝0；⑤又点A，B在椭圆C上，故有x＋3y＝x＋3y＝3.⑥将⑤⑥代入④可得λ2＋μ2＝1.