高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象 1.2 角的概念的推广例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.1周期现象1.2角的概念的推广典题精讲例1走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？思路分析：由于每隔一定时间，手臂来回摆动，此现象是周期现象.答案：如图1-（1，2）-1，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.图1-（1，2）-1绿色通道：如果一个现象每隔相同的一段，总是来回重复出现，那么这个现象是周期现象就可以用周期函数来刻画.变式训练“春去春又回”是周期现象吗？若是，请说出其周期.思路分析：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象.设春天是否到来为变量y，时间为t，则y是t的周期函数，一年是一个周期，也是最小正周期.答案：“春去春又回”是周期现象，周期为一年.例2在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.（1）908°28′；（2）-734°.思路分析：将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α∈［0°，360°）的形式即可.解：（1）908°28′=188°28′+2×360°,则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角.（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.绿色通道：一般地，化角β为α+k·360°(k∈Z)时，可由β除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解.变式训练在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.思路分析：先写出所有与60°角终边相同的角，然后确定在-720°—720°之间的角.解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°≤720°，得k＝-2，-1,0，1.相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}.例3在角的集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}中，（1）有几类终边不相同的角？（2）有几个属于区间（-360°，360°）内的角？思路分析：从代数角度看，取k=…，-2，-1，0，1，2，…，可以得α为…，-135°，-45°，45°，135°，225°，…，从图形角度可以看成是以45°角为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，如图1-（1，2）-2所示.图1-（1，2）-2解：（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四类.（2）由-360°＜k·90°+45°＜360°，得＜k＜，又k∈Z，故k＝-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中属于区间（-360°，360°）的角共有8个.绿色通道：把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些，在数学学习中，数形结合是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意自觉地应用.变式训练求终边在直线y=-x上的角的集合.思路分析：先写出0°—360°范围内终边在直线y=-x上的角，再根据终边相同的角写出集合.解：在0°—360°范围内满足条件的角为135°和315°，∴终边在直线y=-x上的角的集合为{α|α=k·3６0°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.问题探究问题1根据α的象限，思考所在的象限(n＞1,n∈N*).导思：解决这类问题有两种办法：不等式法和八卦图法.探究：方法一（不等式法）：下面以α为第一象限的角，确定所在的象限为例. α是第一象限角，∴α可以表示为k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z.∴k·180°＜＜k·180°+45°.当α为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.即当α是第一象限角时，是第一象限角或第三象限角；同理可得当α为其他象限角时，的终边所在的象限：当α是第二象限角时，是第一象限角或第三象限角；当α是第三象限角时，是第二象限角或第四象限角；当α是第四象限角时，是第二象限角或第四象限角.方法二（八卦图法）：以确定所在的象限为例.如图1-（1，2）-3所示，作出各个象限的平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就说明α第...