第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[基础题组练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．4．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.5．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.6．(2020·咸阳模拟)已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p1是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.7．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0B．a－b＞0C．ab＞1D．＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1，故选A.9．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．解析：由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0
－n，则m2>n2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．(2020·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．以上说法中正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是“若sinx＝cosy，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④...
