8函数性质在运用中的巧思妙解1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－a，则f(log3)＝________.答案解析由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝－a＝0，解得a＝，所以当x≥0时，f(x)＝－.所以f(log32)＝－＝－＝－.从而f(log3)＝f(－log32)＝－f(log32)＝.2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝________.答案337解析 f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×＝335.而f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝335＋2＝337.3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－，2＋]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．答案(－∞，－]解析设x<0，则－x>0.f(－x)＝(－x)2，又 f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(x)．∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(x)⇔x＋t≤x在[－2－，2＋]上恒成立， x＋t≤x⇔(－1)x≥t，要使原不等式恒成立，只需(－1)(－2－)≥t⇒t≤－即可．4．(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．答案解析由题意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a. f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)， f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又 f(x)在[0，＋∞)上递增，∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈.5．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是________．答案b>a>c解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)关于y轴对称．所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，函数y＝xf(x)单调递减，从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．因为1<20.2<2,0a>c.6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________．答案f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．所以f(4.5)＝f(4＋)＝f()，f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，f(6.5)＝f(4＋)＝f()．又f(x)在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．7．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为________．答案解析当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．由函数f(x)在R上为偶函数，可得f(－2013)＝f(2013)，故f(2013)＝f(4×503＋1)＝f(1)，f(2014)＝f(4×503＋2)＝f(2)．而f(1)＝log8(1＋1)＝log82＝，f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－log81＝0.所以f(－2013)＋f(2014)＝.8．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．答案1解析依题意，h(x)＝当02时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.9．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________．答案(－5,0)∪(5，＋∞)解析由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝不等...
