4.2平面向量基本定理及坐标表示[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向答案D解析 c∥d，∴(ka＋b)∥(a－b)，∴存在λ使ka＋b＝λ(a－b)，∴⇒∴c＝－a＋b，∴c与d反向．故选D.2．(2018·襄樊一模)已知OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝C．k＝1D．k＝－1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB与AC共线．因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故选C.3．(2018·怀化一模)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)答案D解析设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.4．(2017·河南高三质检)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝4，D是AB上一点，且AB·CD＝5，则|BD|等于()A．6B．4C．2D．1答案C解析设AD＝λAB， CD＝AD－AC，∴AB·CD＝AB·(AD－AC)＝λAB2－AB·AC＝5，可得25λ＝15，∴λ＝，∴|BD|＝|AB|＝2，故选C.5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA＝a，OB＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()1答案A解析由题意知OC＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，排除B；取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，排除C，D，故选A.6．(2018·茂名检测)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()A．24B．8C.D.答案B解析 a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，又x，y>0，∴＋＝×(2x＋3y)＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．∴＋的最小值是8.故选B.7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA、OB的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为()A.B.C.D.答案A解析因为点C，M，N共线，则OC＝λOM＋μON＝λOA＋μOB，λ＋μ＝1，由OC＝xOA＋yOB，x＝λ，y＝μ＝(1－λ)，x2＋y2＝2＋(1－λ)2＝λ2－＋，设g(λ)＝λ2－＋，由二次函数的性质可知：当λ＝时，g(λ)取最小值，最小值为g＝，2所以x2＋y2的最小值为，故选A.8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.B.C．1D.答案A解析DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.故选A.9．(2018·安徽十校联考)已知A，B，C三点不共线，且AD＝－AB＋2AC，则＝()A.B.C．6D.答案C解析如图，取AM＝－AB，AN＝2AC，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，此时AD＝－AB＋2AC.由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，而S△AMD＝S△AND，∴＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB＝a，AC＝b，则AD＝()A.a－bB．－a＋b3C．－a＋bD.a＋b答案B解析根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，∴AB＝(－1,0)，AC＝(－1,1)，AD＝.令AD＝λAB＋μAC，则有得∴AD＝－a＋b.故选B.二、填空题11．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．答案(2,4)解析 在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB.设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(4－x,2－y)，AB＝(1，－1)，...
