平面向量的应用1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A．10NB．0NC．5ND.N2．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OC＝a1OA＋a200OB，且A、B、C三点共线(该直线不过原点)，则S200＝()A．100B．101C．200D．2014．若向量a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，则m的最小值为________．5．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．5NB．5NC．10ND．5N6．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.C.D．17．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA＋PB＋PC＝AB，QA＋QB＋QC＝BC，RA＋RB＋RC＝CA，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶58．把圆C：x2＋y2＝按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，则h的最小值为()A．1B．－1C.D．－9．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)10．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．11．已知两个单位向量a和b的夹角为135°，则当|a＋λb|>1时λ的取值范围是________________．12．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λCA＋(1－λ)CB|的最小值是________．13．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为________．14．(10分)已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.用向量的方法证明：AD⊥CE.15．(13分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.16．(12分)已知P(x，y)，A(－1,0)，向量PA与m＝(1,1)共线．(1)求y关于x的函数；(2)在直线y＝2x和直线y＝3x上是否分别存在一点B，C，使得满足∠BPC为锐角时x的取值集合为{x|x<－或x>}？若存在，求出这样的B，C的坐标；若不存在，说明理由．答案解析【基础热身】1．C[解析]根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．2．A[解析]由于a⊥b，则f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x(b2－a2)，而|a|≠|b|，则b2－a2≠0，故函数f(x)是一次函数，且为奇函数．3．A[解析]依题意，a1＋a200＝1，S200＝＝100.4．－－1[解析]因a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，得2sinαcosα＝2sin2α＋m，得m＝－2sin2α＋2sinαcosα，＝cos2α＋sin2α－1＝sin－1，m的最小值为－－1.【能力提升】5．B[解析]|F1|＝|F|·cos60°＝5N.6．A[解析]设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，|c|的最大值是2.7．B[解析]由PA＋PB＋PC＝AB，PA＋PC＝AB－PB，即PA＋PC＝AB＋BP，PA＋PC＝AP，∴PC＝2AP，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.8．A[解析]圆C：x2＋y2＝按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1(x－h)2＋(y＋1)2＝，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，≥且h>0，所以h≥1.9．C[解析]由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又 |e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．10．北偏西30°[解析]渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为OD，依题意知，|OA|＝12.5，|...
