专题4.2同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用定义推导出诱导公式.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tanα＝恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×【解析】(1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sinα＝，当k为偶数时，sinα＝－.【教材衍化】2.(必修4P21A12改编)已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝()A.B.－C.D.－【答案】B【解析】由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝()A.－B.C.－D.【答案】A【解析】因为α为锐角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.【真题体验】4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A.－B.－C.D.【答案】A【解析】 (sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，∴sin2α＝1－＝－.5.(2019·济南质检)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα＝()A.B.－C.D.－【答案】D【解析】 sinα＝－，α为第四象限角，∴cosα＝＝，因此tanα＝＝－.6.(2018·上海嘉定区月考)化简：＝________.【答案】1【解析】原式＝＝＝1.【考点聚焦】考点一同角三角函数基本关系式角度1公式的直接运用【例1－1】(2018·延安模拟)已知α∈，且sinα＝－，则cosα＝()A.－B.C.±D.【答案】A【解析】因为α∈，且sinα＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－.角度2关于sinα，cosα的齐次式问题【例1－2】已知＝－1，求下列各式的值.(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【答案】见解析【解析】由已知得tanα＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.角度3“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系【例1－3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值.【答案】见解析【解析】(1)由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－.所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.由x∈(－π，0)，知sinx<0，又sinx＋cosx>0，所以cosx>0，则sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－.(2)＝＝＝＝－.【规律方法】1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)(2019·烟台测试)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A.－B.C.－D.(2)已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是()A.B.－C.－3D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1) <α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(2)由＝5得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.考点二诱导公式的应用【例2】(1)设f(α)＝(1＋2sin...
