立体几何0621.（本小题满分12分）如图，如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成角为，且，求点到平面的距离．【答案】解：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形，∴又平面，平面平面（II）设平面的距离为，【法一】：因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，因，则DCABPEF图5ABCDPOEHFG，…………………………………………则，因所以………………………………………………【法二】因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离.又，所以……………………………………………ABCDPOEF22.（满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值。【答案】解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，∵是的中点，∴∵平面，平面，∴∥平面.…………………6分(2)法一：设,∵,∴,且，作，连∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…………12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，，，.∴，，，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.…………………………12分23.（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求线段的长；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：连接．因为是直三棱柱，所以平面，………………1分所以．………………2分因为，所以平面．………………3分因为，，所以．………………4分（Ⅱ）证明：取中点，连接，．………………5分在△中，因为为中点，所以，．在矩形中，因为为中点，所以，．所以，．所以四边形为平行四边形，所以．………………7分因为平面，平面，………………8分所以//平面．……9分（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面．………11分证明如下：连接．在正方形中易证．又平面，所以，从而平面．…12分所以．………………13分同理可得，所以平面．故线段上存在点，使得平面．………………14分24.（本小题满分12分）如图4，正三棱柱中，是中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）若，，求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）证明：∵是正三棱柱，∴∴．∵△ABC是正三角形，E是AC中点，∴∴，又∵，∴平面．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图3，作交延长线于M，由（Ⅰ）可证得AM，∴AM的长就是点A到的距离，由∽，可解得AM=，∴点A到的距离为．………………………………………（12分）图3
