第3讲平面向量的数量积及其应用一、选择题1．(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A．0B．1C．2D.解析|a－b|＝＝＝＝.答案D2．(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案B3．已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝()A．2B.C．10D．5解析 a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴|b|＝＝.故选B.答案B4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC等于()A．5B．4C．3D．2解析 四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.答案A5．(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝，故选C.答案C二、填空题6．(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.解析由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.答案－7．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．解析 cos〈a，b〉＝＝＝， 〈a，b〉∈[0，π]．∴a与b夹角的大小为.答案8．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．解析由已知得AB＝OB－OA＝(3,1)，AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)．若AB∥AC，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m)． ∠ABC为锐角，∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－.由题意知，当m＝时，AB∥AC，且AB与AC同向．故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪.答案∪三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.10．(2017·合肥一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．解(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0
b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7舍去，故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝ccosB＝1×＝.11．(教材改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于()A．2B．5C．2或5D.或解析由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于或0°，|a＋b＋c|＝＝当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.答案C12．(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于()A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.答案D13．(2016·商洛统考)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形．故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.法二坐标法：OA...
