第2讲平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于()A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－b解析：选A.BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋a＝b－a.2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.3.已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B.C．2D．41解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，4)B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．6.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋λBA＝λOA＋(1－λ)OB.又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，则OC＝－OA－·OB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．二、填空题7．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．解析：由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．答案：－28．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－9.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若OP＝3e1＋4e2，则|OP|＝________．解析：由题意知，四边形ONPM为平行四边形，且|OM|＝3|e1|＝3，|ON|＝4|e2|＝4，且∠PMx＝60°，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q(图略)，则|PQ|＝|PM|sin60°＝4×＝2，2|MQ|＝|PM|cos60°＝4×＝2.所以|OQ|＝|OM|＋|MQ|＝3＋2＝5，所以|OP|2＝|OQ|2＋|QP|2＝52＋(2)2＝37，即|OP|＝.答案：10.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以OA＋OC＝2OD，OB＋OC＝2OE，因为OA＋2OB＋3OC＝0，所以2OD＋4OE＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.答案：3∶2三、解答题11．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(...
