平面向量的数量积021．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．82．已知a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝，则x的值为()A.B．2C.－1D.3．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于()A．1B．2－C．3D．4－4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为____________5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．166．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.D.7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.B.C.D.8．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|9．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．10．在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.11．在△ABC中，已知＋⊥BC，且AB·AC＝|AB|·|AC|，则△ABC的形状是________．12．(13分)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|PA＋3PB|的最小值．13．(12分)如图K25－1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取最小值时，求tan∠DPA的值．图K25－1答案解析【基础热身】1．B[解析]∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝2.2．D[解析]依题意得a·b＝x＝.3．C[解析]a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cos60°＝3.4.[解析]设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝.因为0≤θ≤π，故θ＝.【能力提升】5．D[解析]因为∠C＝90°，所以AC·CB＝0，所以AB·AC＝(AC＋CB)·AC＝|AC|2＋AC·CB＝AC2＝16.6．A[解析]由|a·b|＝|a||b|知a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.故选A.7．C[解析]依题意，由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|得a⊥b，b2＝3a2，cos〈a＋b，a－b〉＝＝－，所以向量a＋b与a－b的夹角是.8．C[解析]因为|a＋b|＝|b|，所以a·(a＋2b)＝0，即a⊥(a＋2b)，因此|a|、|a＋2b|、|2b|构成直角三角形的三边，|2b|为斜边，所以|2b|>|a＋2b|.9.[解析]设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，∴θ＝.10．－[解析]由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，故AD＝，BE＝，所以AD·BE＝－×＝－.11．等边三角形[解析]非零向量AB与AC满足·BC＝0，即∠BAC的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，又cosA＝＝，∠A＝，所以△ABC为等边三角形．12．[解答]建立坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则PA＝(2，－y)，PB＝(1，h－y)，∴|PA＋3PB|＝≥＝5.【难点突破】13．[解答]以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y)(0≤y≤2)．∴PD＝(－3,1－y)，PA＝(－3，－y)，∴PD·PA＝y2－y＋9＝2＋，∴当y＝时，PD·PA取最小值，此时P.易知|DP|＝|AP|，α＝β.在△ABP中，tanβ＝＝6，所以tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝.
