高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 数列（3） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

数列(3)1．[2019·河北联盟考试]已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解析：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1.∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又C1＝－1，∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴Tn＝＝－[1－(－2)n]．2．[2019·辽宁大连二十四中模拟]已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．解析：(1)由题意得b＝anan＋1，则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差数列．(2)当n＝1时，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，①a＋a＋a＋…＋a＝S，②①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－aa－1，④③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋aa－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.3．[2019·云南昆明质检]已知数列{an}中，a1＝3，{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋n2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由Sn＋1＝an＋n2①，得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2②，由②－①，得an＝2n＋1.当a1＝3时满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1)＝＋＝＋(4n－1)．4．[2019·四川成都二诊]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，S3＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.又S3＝a1＋a2＋a3＝14，∴2(a2＋1)＝14－a2，∴a2＝4，∵S3＝＋4＋4q＝14，∴q＝2或q＝，∵q>1，∴q＝2.∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.(2)由(1)知an＝2n，∴bn＝an·log2an＝2n·n.∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.5．[2019·辽宁沈阳联考]若正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，点P(，Sn＋1)在曲线y＝(x＋1)2上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn表示数列{bn}的前n项和，若Tn≥m－1对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由已知可得Sn＋1＝(＋1)2，得－＝1，所以{}是以为首项、1为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×1＝n，得Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，也符合上式，故{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)min＝T1＝，又Tn≥m－1对任意n∈N*恒成立，所以≥m－1恒成立，所以m≤4，故实数m的取值范围为(－∞，4]．6．[2019·山西河津二中月考]设数列{an}满足a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列b1＝，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1.解析：(1)∵＝(n≥2)，∴＝＋，又a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝，∴－＝，∴是首项为1，公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即an＝.(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，又b1＝符合上式，∴bn＝－(n∈N*)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1.