考点17平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.(2016·四川高考理科·T10)在平面内,定点A,B,C,D满足,动点P,M满足||=1,,则||2的最大值是()A.B.C.D.【解题指南】结合向量的运算判断出三角形的形状,建立适当的坐标系,将问题转化为三角函数求最值问题.【解析】选B.由题意,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心;⇒,所以DB⊥AC,同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,从而D是△ABC的垂心;所以△ABC的外心与垂心重合,因此△ABC是正三角形,且D是△ABC的中心;⇒,所以正三角形△ABC的边长为2;我们以A为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B(3,-),C(3,),D(2,0).由=1,设P点的坐标为(cosθ,sinθ),其中θ∈[0,2π),而,即M是PC的中点,可以写出M的坐标为M,则,当θ=π时,2取得最大值.2.(2016·北京高考理科·T4)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用向量加法的平行四边形法则,减法的三角形法则解决.【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.二、填空题3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.【解题指南】因为两个向量平行,所以利用向量共线的坐标表示进行计算.【解析】因为a∥b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.答案:-64.(2016·浙江高考文科·T15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.【解题指南】先由已知条件求a与b的夹角,用坐标表示出a,b与e的坐标,进行求解.【解析】由已知得,
=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,),设e=(cosα,sinα),则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+sinα|≤|cosα|+|cosα|+|sinα|=2|cosα|+|sinα|取等号时cosα与sinα同号,所以2|cosα|+|sinα|=|2cosα+sinα|==|sin(α+θ)|(其中sinθ=,cosθ=,取θ为锐角),显然|sin(α+θ)|≤,易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正,因此上述不等式中等号能同时取到,故所求最大值为.答案:
