第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．已知实数x，y满足则z＝4x＋y的最大值为(B)A．10B．8C．2D．0解析画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A(2,0)时，z＝4x＋y取得最大值8.2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(A)A．B．C．[－1,6]D．解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z＝3x－y过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值－，故选A．3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为(C)A．[2,8]B．[4,13]C．[2,13]D．解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z∈[2,13]．4．若实数x，y满足且z＝y－x的最小值为－2，则k＝(B)A．1B．－1C．2D．－2解析当k≥0时，直线z＝y－x不存在最小值，∴k＜0.当k＜0时，当有且仅当直线z＝y－x经过kx－y＋2＝0与x轴的交点，(－，0)时，z取得最小值－2，∴－2＝，即k＝－1.5．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a＝(A)1A．3B．6C．5D．4解析先作出不等式组对应的区域，如图．因为直线ax－y＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax－y＋1≥0表示的区域在直线ax－y＋1＝0的下方，所以△ABC为不等式组对应的平面区域．因为A到直线BC的距离为1，所以S△ABC＝×1×BC＝2，所以BC＝4.当x＝1时，yC＝1＋a，所以yC＝1＋a＝4，解得a＝3.6．设实数x,y满足则z＝＋的取值范围是(D)A．B．C．D．解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)．由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)的连线的斜率，则kOA＝，kOB＝2，kOC＝，所示∈.结合对勾函数的图象，得z∈，故选D．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为__3__.解析由约束条件画出可行域，如图．的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，所以的最大值即为直线OA的斜率，又由得点A的坐标为(1,3)，于是max＝kOA＝3.8．已知实数x，y满足x2＋(y－2)2＝1，则ω＝的取值范围是__[1,2]__.解析设P(x，y)，M(1，)，则cos〈OP，OM〉＝＝，过原点O作⊙C的切线OA，OB，切点为A，B，易知：∠MOx＝∠AOx＝60°，∠BOx＝120°，∴0°≤〈OP，OM〉≤60°，∴≤cos〈OP，OM〉≤1，∴1≤ω≤2.9．已知a>0，实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a的值为____.2解析由题意得直线y＝a(x－3)过x＝1与2x＋y＝1的交点(1，－1)，因此a的值为.三、解答题10．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解析(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，解得－18
