、用线段的定比分点证不等式线段的定比分点是指：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，通常用λ表示，即λ=，点P叫做线段P1P2为定比λ的分点。当P点内分线段P1P2时，λ>0；当P点外分线段P1P2时，λ<0；当P点线段P1P2的P1重合时，λ=0；当P点线段P1P2的P2重合时，λ不存在。线段的定比分点通常在解析几何中求点的坐标、直线方程及动点轨迹方面有重要的应用。但在充分掌握线段定比分点概念实质的基础上，通过探索、构造能发现可以巧证一些不等式，本文略举例说明。例1已知a,b,m都是正数，并且a.分析不等式证明证法比较多有：分析法、比较法、综合法等，但利用线段定比分点也不失一种好的方法。即使把变形为，理解，，1为数轴上的三点，是与1的内分点，命题得证。证明：设=，得，知分与1为定比分点，又∵b,m都是正数，∴>0，故在与1之间（内分点），∴<<1.例2已知∣a∣<1，∣b∣<1，求证：。分析理解，-1，1为数轴上三点，把看作起点为-1、终点为1的分点，就得=，求出的关系式，再根据>0，命题得证。证明：设=，得，又∵∣a∣<1，∣b∣<1，∴，故是-1与+1为定比分点，且>0,得-1<<1，∴。例3设x为实数，求证：-3≤≤1.分析就是理解，-3，1为数轴上的三点，把看作起点-3，终点1两点的分点。=，可得=0或>0或不存在，命题得证。证明：设=得（x2+x+1）-3(x2+x+1)=3x+3x、(x-1)2=3(x+1)2当x=1时;不存在，分点在终点。当x=-1时;=0，分点在起点。当x≠1且x≠-1时；>0，分点在起点与终点之间。∴命题成立。即-3≤≤1.
