【课时训练】平面向量的综合应用一、选择题1．(2018保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒|AB＋AC|2＝|AB－AC|2⇒AB·AC＝0，所以三角形为直角三角形．故选B.2．(2018贵阳考试)设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则AM·AN的最大值为()A．32B．24C．20D．16【答案】B【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则AM·AN＝4x＋2y≤4×4＋2×4＝24，当且仅当AN＝AC时取等号，故选B.3．(2018重庆一诊)已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且AB＋AC＝AD，则△ABC的面积的最大值为()A．3B．4C．3D．4【答案】B【解析】由题设AB＋AC＝AD，可知四边形ABDC是平行四边形．由圆内接四边形的性质可知∠BAC＝90°，且当AB＝AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax＝AB·AC＝×(2)2＝4.故选B.4．(2018邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意得acos＝bcos，acos＝ccos，由正弦定理得sinAcos＝sinBcos⇒sin＝sin⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.5．(2018沈阳模拟)已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则点P的轨迹的曲线类型为()A．双曲线B．抛物线C．圆D．椭圆【答案】B【解析】MN＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|MN|＝6，MP＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，NP＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以|MN|·|MP|＋MN·NP＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.6．(2018西安二模)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)【答案】C【解析】由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.二、填空题17．(2018长春模拟)在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．【答案】2【解析】由题意知AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，所以|AB|＝2.8．(2019重庆调研)已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．【答案】【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，所以cosθ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.9．(2018四川成都模拟)在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则BH·CH的最大值为________．【答案】6＋19【解析】由题意得BH＝(x＋3，y＋3)，CH＝(x－3，y＋3)，所以BH·CH＝(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3)＝x2＋2y2－9＋6y＋27＝6y＋19≤6＋19，当且仅当y＝1时取最大值．10．(2018广西模拟)已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得PA·PB＝0，则m的最大值为________．【答案】6【解析】圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1，圆心C(4,4)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则PA＝(1－m－x0，－y0)，PB＝(1＋m－x0，－y0)，所以PA·PB＝(1－x0)2－m2＋y＝0，即m2＝(x0－1)2＋y.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值．因为|PM|的最大值为|MC|＋1＝＋1＝6，所以m的最大值为6.三、解答题11．(2018临沂模拟)已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α.(2)若|m－n|＝，求cos2α的值．【解】(1)向量m＝(sinα－2，－cos...
