第二节函数的单调性与最值☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。2016，天津卷，13,5分(函数的单调性、奇偶性)2014，全国卷Ⅰ，16,5分(函数单调性)1.主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题；2.题型多以选择题、填空题为主，若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题。微知识小题练自|主|排|查1．增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值。4．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)>0(或>0)⇔f(x)在D上单调递增；(2)<0(或<0)⇔f(x)在D上单调递减。5．对勾函数的单调性对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数。6．函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1
f(x2)图象法函数图象上升的函数图象下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增＋递增递减＋递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反微点提醒1．函数的单调性是对某个区间而言的，如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内不单调递减，单调区间只能分开写或用“和”连接，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接。2．一个函数在某个区间上是增函数，但它的递增区间的范围有可能大，例如f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数，但是f(x)的递增区间是(－∞，＋∞)。3．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值，求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P39B组T3改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝x，x∈R【解析】选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数。故选A。【答案】A2．(必修1P45B组T4改编)设函数f(x)＝是R上的减函数，那么实数a的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.【解析】当x≤1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a为减函数，则3a－1<0，即a<；当x>1时，f(x)＝logax为减函数，则00时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2。故选C。【答案】C4．(2016·北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________。【解析】f(x)＝＝＝1＋， x≥2，∴x－1≥1,0<≤1，∴1＋∈(1,2]，故当x...
