考点44随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.(2017·山东高考理科·T8)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.【命题意图】本题考查古典概型概率及互斥事件的概率的求解,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.【解析】选C.奇偶性不同可能先抽到奇数牌再抽到偶数牌,或者先抽到偶数牌再抽到奇数牌,由于二者为互斥事件,故所求的概率为P==.2.(2017·全国乙卷理科·T2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.【命题意图】以传统文化为载体,考查几何概型的计算问题.【解题指南】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P(A).【解析】选B.设正方形边长为2,则圆半径为1,则正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π,图中黑色部分的面积为,则此点取自黑色部分的概率为=.二、简答题1.(2017·全国丙卷·文科·T18)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.【解析】(1)需求量不超过300瓶,即最高气温不高于25℃,从表中可知有54天,所以所求概率为P==.(2)Y的可能值列表如下:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)Y-100-100300900900900低于20℃:Y=200×6+250×2-450×4=-100;[20,25):Y=300×6+150×2-450×4=300;不低于25℃:y=450×(6-4)=900,所以Y大于0的概率为P=+++=.2.(2017·江苏高考·T7)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【命题意图】考查几何概型概率的求法.【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,根据几何概型的概率计算公式得x∈D的概率是=.答案:【反思总结】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.3.(2017·山东高考文科·T16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率.(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.【命题意图】本题考查古典概型概率的求解,意在考查考生的分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)从A1,A2,A3,B1,B2,B3,6个国家中任选2个国家,有以下结果:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共有15种.记“所选的两个国家都是亚洲国家”为事件M,则事件M包含3种结果:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),所以P(M)==.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,有以下结果:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共有9种,记“这两个国家包括A1但不包括B1”为事件N,则事件N包含2种结果:(A1,B2),(A1,B3),所以P(N)=.4.(2017·天津高考文科·T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.【命题意图】考查古典概率模型.要求考生能够找出基本事件总数,利用古典概型概率公式求解.【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)共10种取法,取出的2支彩笔中含有红色彩笔的有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫)共4种取法.因此所求概率为=.
