中档大题满分练9
坐标系与参数方程中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基
在直角坐标系xOy中,将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线C1
以O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin=
(1)写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程
(2)设点M在C1上,点N在C2上,求使|MN|取最小值时点M的直角坐标
【解析】(1)C1为x2+=1,其参数方程为(α为参数)
C2:原式=ρsinθ+ρcosθ=2,其直角坐标方程为x+y-2=0
(2)由(1)可设M(cosα,sinα-1),由于C2是直线,所以|MN|的最小值就是M到C2距离d的最小值
d==,当α=时,d取最小值,最小值为
此时M的直角坐标为
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5
以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系
(1)求直线l及圆C的极坐标方程
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求cos∠AOB的值
【解析】(1)由直线l的参数方程得,其普通方程为y=x+2,所以直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2
又因为圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ,所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ
(2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2,与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立,得(4cosθ+2sinθ)(sinθ-cosθ)=2,整理得sinθcosθ=3cos2θ,所以θ=,或tanθ=3
不妨记点A对应的极角为,点B对应的极角为θ,且tanθ=3
于是,cos∠AOB=cos=sinθ=
