第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,3利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13基本不等式的实际应用6,12,14基本不等式的综合应用5,8,10基础巩固(时间:30分钟)1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有(C)(A)最大值0(B)最小值0(C)最大值-4(D)最小值-4解析:因为x<0,所以f(x)=-(-x+)-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.选C.2.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+)>lgx(x>0)(B)sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·=x,所以lg(x2+)≥lgx(x>0),故选项A不正确;当2kπ-π0,n>0)过点(1,-2),则+最小值(D)(A)2(B)6(C)12(D)3+2解析:因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,因为+=(+)(m+n)=3++≥3+2,当且仅当=,即n=m时取等号,所以+的最小值为3+2,故选D.6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则+的最小值为(C)(A)(B)4(C)(D)5解析:由题意可得,a·S△BCD+bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.h==2,所以a+b=2.所以+=(a+b)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当a=2b=时取等号.故选C.7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.2解析:(x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为.解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,则有3a+2b=3,则有a+2b=1;则+=(a+2b)(+)=4+(+)≥4+2=8,当且仅当a=2b=时,等号成立.即+的最小值为8.答案:8能力提升(时间:15分钟)9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为(A)(A)[,+∞)(B)(,+∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,]解析:由x>0,=,令t=x+,则t≥2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.10.导学号38486114(2017·揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为(B)(A)4(B)12(C)24(D)36解析:抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),即y+3=(x+1)(ax-a+2),所以A(-1,-3),所以m+n=,又+=+=6+3(+)≥6+6=12,当且仅当m=n时等号成立.故选B.311.(2017·山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(C)(A)4(B)6(C)8(D)9解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1.又a>0,b>0,则+=(2a+b)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费为6×=(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y=20≥2.即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,所以u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=(+)·=(7++)≥(7+2)=,当且仅当=时等号成立.所以+的最小值为.414.某造纸厂拟建一座底面形状为...
