第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式分层演练综合提升A级基础巩固1.计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于()A.-12B.√32C.√22D.12答案:D2.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于()A.1B.-1C.0D.±1答案:C3.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A.❑√3B.1+❑√2C.2D.2(tan18°+tan27°)答案:C4.函数f(x)=cosx(1+❑√3tanx)的最小正周期为2π.5.已知α∈0,π2,β∈π2,π,且sin(α+β)=3365,cosβ=-513,求sinα.解:因为β∈(π2,π),cosβ=-513,所以sinβ=1213.又因为0<α<π2,π2<β<π,所以π2<α+β<3π2.又因为sin(α+β)=3365,所以cos(α+β)=-√1-sin2(α+β)=-√1-(3365)2=-5665,所以sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=3365×(-513)-(-5665)×1213=35.B级能力提升6.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3❑√3,tan2B=tanAtanC,则B等于()A.30°B.45°C.120°D.60°解析:由公式变形得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tan(180°-C)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC.所以tanA+tanB+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=3❑√3.又因为tan2B=tanAtanC,所以tan3B=3❑√3,所以tanB=❑√3,所以B=60°.答案:D7.(abcd)的运算法则为(abcd)=ad-bc,则(cosπ3sinπ6sinπ3cosπ6)的值是0.解析:(cosπ3sinπ6sinπ3cosπ6)=cosπ3cosπ6-sinπ3sinπ6=Cos(π3+π6)=cosπ2=0.8.如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为❑√210,2❑√55.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由条件得cosα=❑√210,cosβ=2❑√55.因为α,β均为锐角,所以sinα=❑√1-cos2α=7❑√210,sinβ=❑√1-cos2β=❑√55.因此tanα=sinαcosα=7,tanβ=sinβcosβ=12.(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-7×12=-3.(2)因为tan2β=tan(β+β)=tanβ+tanβ1-tanβtanβ=2×121-(12)2=43,所以tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=7+431-7×43=-1.又因为α,β均为锐角,所以0<α+2β<3π2,所以α+2β=3π4.9.已知函数f(x)=2cosx4+π6,x∈R.若α,β∈0,π2,f4α+4π3=-3017,f4β-2π3=85,求cos(α+β)的值.解:因为f(4α+4π3)=-3017,所以2cos[14(4α+4π3)+π6]=2cos(α+π2)=-3017,所以sinα=1517.又因为f(4β-2π3)=85,所以2cos[14(4β-2π3)+π6]=2cosβ=85,所以cosβ=45.又因为α,β∈[0,π2],所以cosα=817,sinβ=35,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=817×45-1517×35=-1385.C级挑战创新10.多空题已知函数f(x)=sinx+π4-sinx-π4,则此函数的周期T=2π;若-π3≤x≤π6,则此函数的值域是[❑√22,❑√2].解析:因为f(x)=sin(x+π4)-sin(x-π4)=sinx·cosπ4+cosxsinπ4-sinxcosπ4+cosxsinπ4=❑√2cosx,所以函数f(x)的最小正周期为2π1=2π.又因为-π3≤x≤π6,所以❑√22≤f(x)≤❑√2.
