第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用分层演练综合提升A级基础巩固1.若函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象如图所示,则A与最小正周期T分别是()A.A=3,T=5π6B.A=3,T=5π3C.A=32,T=5π6D.A=32,T=5π3答案:D2.若某函数图象的一部分如图所示,则这个函数的解析式是()A.y=sinx+π6B.y=sin2x-π6C.y=cos4x-π3D.y=cos2x-π6答案:D3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立平面直角坐标系,如图(示意图)所示,设秒针位置为P(t,y).若初始位置为P0√32,12,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是()A.y=sinπ30t+π6B.y=sin-π60t-π6C.y=sin-π30t+π6D.y=sin-π30t-π3答案:C4.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发,在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP⏜的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是()ABCD答案:C5.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象的一个最高点为(2,2√2),从这个最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),求这个函数的解析式.解:已知函数图象的一个最高点为(2,2√2),所以A=2√2.又因为从此最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),所以T4=6-2=4,所以T=16,所以ω=2πT=π8,所以y=2√2sin(π8x+φ).将最高点坐标(2,2√2)代入,得2√2=2√2sin(π8×2+φ),所以sin(π4+φ)=1.又因为|φ|<π2,所以φ=π4,所以函数的解析式为y=2√2sin(π8x+π4).B级能力提升6.如图,一个半径为3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系:y=Asin(ωx+φ)+2,则有()A.ω=2π15,A=3B.ω=152π,A=3C.ω=2π15,A=5D.ω=152π,A=5解析:由题目可知y的最大值为5m,所以5=A×1+2,所以A=3.由题意可得T=15s,则ω=2π15.故选A.答案:A7.一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM的长),巨轮的半径长为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过tmin,该吊舱P距离地面的高度为hm,则h等于()A.30sinπ12t-π2+30B.30sinπ6t-π2+30C.30sinπ6t-π2+32D.30sinπ6t-π2解析:如图,过点O作地面的平行线,作为x轴,过点O作x轴的垂线,作为y轴,过点B作x轴的垂线BN交x轴于点N.由题意可知OA=OM-AM=30m.点A在圆O上逆时针运动的周期为12min,所以tmin转过的弧度数为2π12t=π6t.设θ=π6t,当θ>π2时,∠BON=θ-π2,h=OA+BN=30+30sin(θ-π2),当0<θ<π2时,上述关系式也适合.故h=30+30sin(θ-π2)=30sin(π6t-π2)+30.答案:B8.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108m,直径长是98m,逆时针匀速旋转一圈需要18min.某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.(1)当此人第四次距离地面692m时用了多少分钟?(2)当此人距离地面不低于59+492❑√3m时可以看到游乐园的全貌,摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?解:(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮tmin时距地面ym,则tmin转过的弧度数α=2π18t=π9t.由y=108-982-982cosπ9t=-49cosπ9t+59(t≥0).令-49cosπ9t+59=692,得cosπ9t=12,所以π9t=2kπ±π3,k∈Z,故t=18k±3,k∈Z,当k=0时,t=3,当k=1时,t=15或21,当k=2时,t=33或39.故当此人第四次距离地面692m时用了33min.(2)由题意,得-49cosπ9t+59≥59+492❑√3,即cosπ9t≤-❑√32.故不妨在第一个周期内求,得5π6≤π9t≤7π6,解得152≤t≤212,故212-152=3.因此摩天轮旋转一圈中有3min可以看到游乐园的全貌.C级挑战创新9.多选题若函数f(x)=cosx+π3,则下列结论正确的是()A.f(x)的一个周期为2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在区间π2,π上单调递减解析:函数f(x)=cos(x+π3)的图象可由y=cosx的图象向左平移π3个单位长度得到,如图,f(x)在区间(π2,π)上先减后增,D项错误,其余选项均正确.答案:ABC10.开放题若一个函数同时具有:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x=π3对称.请列举一个满足以上两条件的函数:y=sin(2x-π6)(答案不唯一).解析:不妨设该函数为y=Asin(ωx+φ),由于最小正周期为π,故ω=2.又因为图象关于直线x=π3对称,所以2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=-π6,故y=sin(2x-π6)满足以上两个条件.
