课时跟踪检测（四十二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式A级——学考水平达标练1．计算sin47°cos17°＋cos47°cos107°的结果等于()A.－B.C.D.解析：选Dsin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.2．sinθ＋sin＋sin的值为()A．0B．C．1D．2解析：选A原式＝sinθ＋sinθcos＋cosθsin＋sinθcos＋cosθsin＝sinθ－sinθ＋cosθ－sinθ－cosθ＝0.3．若α是锐角，且满足sin＝，则cosα的值为()A.B.C.D.解析：选B因为α是锐角，且sin＝＞0，所以α－也为锐角，所以cos＝＝＝，cosα＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为()A．－B．C．D．－解析：选Atan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为()A.B．－C.或－D．－或解析：选B由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα＜0，tanβ＜0.∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵－＜α＜，－＜β＜，且tanα＜0，tanβ＜0，∴－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－.6.＝________.解析：原式＝＝＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.答案：2－7．已知sinα＋cos＝，则sin的值是________．解析：sinα＋cos＝sinα＋cosαcos＋sinα·sin＝sinα＋cosα＝＝＝sin＝，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.答案：－8．设tanα＝，tanβ＝，α，β均为锐角，则α＋2β＝________.解析：因为tanβ＝，所以tan2β＝tan(β＋β)＝＝＝，又因为tanα＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋2β＜，故α＋2β＝.答案：9．求下列各式的值．(1)；(2)；(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°.解：(1)原式＝＝＝＝tan60°＝.(2)原式＝＝＝＝.(3)由tan(25°＋35°)＝＝，可得tan25°＋tan35°＝(1－tan25°tan35°)，即tan25°＋tan35°＋tan25°·tan35°＝.10．已知cosα＝，cosβ＝，其中α，β都是锐角．求：(1)sin(α－β)的值；(2)tan(α－β)的值．解：(1)因为α，β都是锐角，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.(2)因为tanα＝＝2，tanβ＝＝，所以tan(α－β)＝＝.B级——高考水平高分练1．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sinCcosB⇒sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB⇒sinBcosC－cosBsinC＝0⇒sin(B－C)＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．2．若tanα＝2tan，则＝________.解析：＝＝＝＝＝＝＝3.答案：33．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.又因为sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜.所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝.所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝×－×＝.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两根，α＋β∈(0，π)．(1)求α＋β；(2)若cos(θ－α－β)＝，θ∈，求sinθ.解：(1)由根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－p，tanα·tanβ＝p＋1，所以tan(α＋β)＝＝＝1，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.(2)cos(θ－α－β)＝cos＝.由θ∈，得θ－∈，所以sin＝.sinθ＝sin＝sincos＋cossin＝×＝.5.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，解得BP＝a，设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tanα＝＝，tanβ＝＝，∴tan(α＋β)＝＝－18，又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
