2.2三角形中的几何计算[A基础达标]1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．与增加的长度有关解析：选A.在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cosA′＝＝>0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.2．在△ABC中，A＝120°，a＝，S△ABC＝，则b等于()A．1B．4C．1或4D．5解析：选C.S△ABC＝bcsinA＝bc＝，故bc＝4，①又a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝21，②解①②组成的方程组，可得b＝1或b＝4，选C.3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为()A．5B．6C．7D．8解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边长为7.4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为()A.B．2C．2D．4解析：选B.因为S＝bcsinA，所以＝×2csin120°，所以c＝2，所以a＝＝＝2，设△ABC外接圆的半径为R，所以2R＝＝＝4，所以R＝2.5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c，a20，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.6．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2＋5c－24＝0，解得c＝3.所以S△ABC＝acsinB＝×5×3sin120°＝.答案：7．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．解析：由A作垂线AH⊥BC于H.因为S△ADC＝DA·DC·sin60°＝×2×DC×＝3－.所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos60°＝1，所以HC＝2(－1)－DH＝2－3.又BD＝CD，所以BD＝－1，所以BH＝BD＋DH＝.又AH＝ADsin60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，所以∠BAH＝45°.又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，故所求角为60°.答案：60°8．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.根据余弦定理得，AC＝＝＝3.S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝6×3sin60°＝9.答案：399．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．解：连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosD＝62＋42－2×4×6cos60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cosB＝＝＝－.又0°
