第3课时利用导数研究函数零点问题1.已知函数f(x)=a+√xlnx(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=(√x)'lnx+√x·1x=√x(lnx+2)2x.令f'(x)>0,解得x>e-2,令f'(x)<0,解得02e时,f(x)>0,无零点,a=2e时,f(x)=0,有1个零点,a<2e时,f(x)<0,有2个零点.2.(2018课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.解析(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2√3或x=3+2√3.当x∈(-∞,3-2√3)∪(3+2√3,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2√3,3+2√3)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2√3),(3+2√3,+∞)单调递增,在(3-2√3,3+2√3)单调递减.(2)证明:由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.1又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.3.(2018重庆调研)设函数f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在[13,3]上有两个零点,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f'(x)=-2x-1+1x=-2x2-x+1x,令f'(x)=0,得x=12(负值舍去),当00,当x>12时,f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(0,12),单调递减区间为(12,+∞).(2)令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得a=x-lnxx,令g(x)=x-lnxx,其中x∈[13,3],则g'(x)=1-1x·x-lnxx2=x2+lnx-1x2,令g'(x)=0,得x=1,当13≤x<1时,g'(x)<0,当10,∴g(x)的单调递减区间为[13,1),单调递增区间为(1,3],∴g(x)min=g(1)=1,由于函数f(x)在[13,3]上有两个零点,g(13)=3ln3+13,g(3)=3-ln33,3ln3+13>3-ln33,∴实数a的取值范围是(1,3-ln33].4.(2019贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=kx-lnx(k>0).(1)若k=1,求f(x)的单调区间;(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;2(3)比较e3与3e的大小.解析(1)k=1,f(x)=x-lnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1-1x,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得00),令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2,当x=e时,g'(x)=0;当00;当x>e时,g'(x)<0.∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)=1e.当x→+∞时,g(x)→0.又k>0,∴要使f(x)仅有一个零点,则k=1e.解法二:f(x)=kx-lnx,则f'(x)=k-1x=kx-1x(x>0,k>0).当x=1k时,f'(x)=0;当01k时,f'(x)>0.∴f(x)在(0,1k)上单调递减,在(1k,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1k)=1-ln1k,∵f(x)有且只有一个零点,∴1-ln1k=0,即k=1e.解法三:∵k>0,∴函数f(x)有且只有一个零点即为直线y=kx与曲线y=lnx相切,设切点为(x0,y0),由y=lnx得y'=1x,∴{k=1x0,y0=kx0,y0=lnx0,∴k=1e,x0=e,y0=1,3∴实数k的值为1e.(3)由(1)(2)知lnxx≤1e,即xe≥lnx,当且仅当x=e时,取“=”,令x=3,得3e>ln3,即lne3>eln3=ln3e,∴e3>3e.4
