高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第四节 基本不等式教师用书 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第四节基本不等式☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2014，福建卷，13,4分(基本不等式的实际应用)2013，天津卷，14,5分(基本不等式求最值)2013，山东卷，12,5分(基本不等式求最值)从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要考查最值、转化与化归思想。微知识小题练自|主|排|查1．重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)。2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2。(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定积最大”)4．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)。(2)ab≤2(a，b∈R)。(3)2≤(a，b∈R)。(4)＋≥2(a，b同号)。以上不等式等号成立的条件均为a＝b。微点提醒1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。小|题|快|练一、走进教材1．(必修5P100A组T1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82【解析】xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立。故选C。【答案】C2．(必修5P100练习T3改编)若把总长为20m的篱芭围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______。【解析】设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以S＝x(10－x)＝－(x－5)2＋25(00，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.≤B.＋≤1C.≥2D．a2＋b2≥8【解析】4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。故选D。【答案】D3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．4【解析】当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C。【答案】C4．若x＞1，则x＋的最小值为__________。【解析】x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5(x>1)。当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立。【答案】55．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为__________。【解析】由已知条件lgx＋lgy＝1，可知xy＝10。则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号。又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立。【答案】2微考点大课堂考点一利用基本不等式证明不等式【典例1】(1)设f(x)＝lnx,0pC．p＝rq(2)已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8。【解析】(1)由条件可得p＝f()＝ln(ab)＝ln(ab)＝(lna＋lnb)，r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝p，由不等式的性质：在0，且函数f(x)＝lnx是增函数，所以p＝f()，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8。【答案】(1)C(2)见解析反思归纳利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：...