高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．(√)1．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是________．答案(0,1)解析 f′(x)＝2x－＝(x>0)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．2．(2013·浙江改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则下列命题正确的是________．①当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值；②当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值；③当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值；④当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值．答案③解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且x在1附近的左边f′(x)<0，x在1附近的右边f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故只有③正确．3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)， m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数． m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设10，∴函数y＝f(x)(1f(1)＝1>0，∴x>lnx>0⇒0<<1，∴()2<.又－＝＝>0，∴()2<<.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令ex－a≥0，则ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2) f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2