小题对点练(七)立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴A1E＝，DC1＝(0,1,1)，BD＝(－1，－1,0)，BC1＝(－1,0,1)，AC＝(－1,1,0)，∴A1E·DC1≠0，A1E·BD≠0，A1E·BC1＝0，A1E·AC≠0，∴A1E⊥BC1.故选C.]2．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是()A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等C[由a，b为异面直线知，在A项中，在空间中任取一点O，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A项正确；B项中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故B项正确；在C项中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故C项错误；在D项中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D项正确．故选C.]3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为()ABCDA[由图可得，选A.]4．如图3是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图3A．2B．4C.D.A[由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示，其中，底面为直角三角形，AD＝2，AF＝，高为AB＝2.∴该几何体的体积为V＝×2××2＝2，故选A.]5．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为()A．60°B．90°C．120°D．180°D[设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r＝R，∴2πr＝，解得n＝180°.]6．(2016·全国卷Ⅲ)如图4所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()图4A．18＋36B．54＋18C．90D．81B[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.]7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈D[根据球的体积公式V＝πR3＝π，得d＝，设选项中的常数为，则π＝，选项A代入得π＝＝3.1，选项B代入得π＝＝3，选项C代入得π＝＝3.2，选项D代入得π＝＝3.142857，D选项更接近π的真实值，故选D.]8．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D．2πC[过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，则该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.]9.如图5，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面ABC所成角的大小是()图5A．30°B．45°C．60°D．90°A[取BC的中点E，连接AE，DE，则DE⊥平面ABC，∴∠DAE为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1，则AE＝，DE＝，∴tan∠DAE＝＝，∴∠DAE＝30°.故选A.]10．在三棱锥SABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱锥SABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．4πB．16πC．36πD．72πB[设SC的中点为D，连接BD，AD(图略)，设BC＝a，则BD＝AD＝a，AB＝a，因为SB＝BC，所以BD...
