高中数学 第一章 算法初步 1.3.2 秦九韶算法练习（含解析）新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题VIP专享VIP免费

第9课时秦九韶算法知识点一秦九韶算法的原理1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x当x＝x0时的值，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5，4B．5，5C．4，4D．4，5答案D解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4．故选D．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是()A．－4B．－1C．5D．6答案D解析n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6．3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是()A．4×4＝16B．7×4＝28C．4×4×4＝64D．7×4＋6＝34答案D解析因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5，当x＝4时的值，给出如下数据．①0②2③11④37⑤143其中运算过程中(包括最终结果)会出现的数有________．(只填序号)答案②③④⑤解析将多项式改写成f(x)＝(((x－2)x＋3)x－7)x－5．v0＝1；v1＝1×4－2＝2；v2＝2×4＋3＝11；v3＝11×4－7＝37；v4＝37×4－5＝143．知识点二利用秦九韶算法计算多项式的值5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324．故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324．易错点利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误6．已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．易错分析由于没有抓住秦九韶算法原理的关键，没有正确改写多项式并使每一次计算只含有x的一次项而致误．正解f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50．故f(－2)＝50．一、选择题1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋9x5＋5x4＋6x3＋12x2＋8x－7在x＝2时的值，需要做乘法和加法的次数分别是()A．5，5B．5，6C．6，6D．6，5答案C解析因为f(x)的最高次数是6，所以需要做乘法和加法的次数都是6．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为()A．－57B．220C．－845D．3392答案B解析v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220．3．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于()A．－B．C．D．－答案A解析 f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－．4．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是()A．可以减少加法运算次数B．可以减少乘法运算次数C．同时减少加法和乘法的运算次数D．加法次数和乘法次数都有可能减少答案B解析秦九韶算法可以把至多次乘法运算减少为至多n次乘法运算．加法运算次数不变．5．用秦九韶算法计算函数y＝2x3－3x2＋2x－1在x＝2时的函数值，则下列各式正确的是()A．v0＝2B．v0＝1C．v1＝4D．v2＝7答案A解析根据秦九韶算法，把多项式改写成y＝((2x－3)x＋2)x－1，从内到外依次计算：v0＝2，v1＝2×2－3＝1，v2＝1×2＋2＝4，v3＝4×2－1＝7．二、填空题6．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，用秦九韶算法计算x＝3时的值，v3的值为________．答案36解析v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，…．7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋3x3＋2x2＋10，当x＝3时f(x)的值为________．答案1324解析f(x)＝5x5＋0x4＋3x3＋2x2＋0x＋10＝((((5x＋0)x＋3)x＋2)x＋0)x＋10＝((((...