专题39双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)。2．了解双曲线的简单应用。3．理解数形结合的思想。热点题型一双曲线的定义及其标准方程例1、【2017课表1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为A．B．C．D．【答案】D【变式探究】(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48(2)已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.＋4B.－4C.－2D.＋2(3)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________。【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10。据题意和双曲线的定义知：2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝－2。(3)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16＞2a，又因为A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：所以|PF|＋|QF|＝28。即△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44。【提分秘籍】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系。【举一反三】已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝。热点题型二渐近线与离心率问题例2、【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.【变式探究】(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________。【提分秘籍】解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝和m＝讨论。(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率(范围)求法中的应用。【举一反三】设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B。若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________。【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为，，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝。热点题型三直线与双曲线的位置关系例3．若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点。(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且OC＝m(OA＋OB)，求k，m的值。整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝。又1
