大题分层练(七)解析几何、函数与导数(C组)1.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)
0).(1)由题意知f′(1)=f′(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+,解得a=.(2)f′(x)=(x>0).①当a≤0时,因为x>0,所以ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当02,在区间(0,2)和上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.(3)由题意知,在(0,2]上有f(x)maxln2-1,故ln2-1时,f(x)在上单调递增;在上单调递减,故f(x)max=f=-2--2lna.由a>可知lna>ln>ln=-1,所以2lna>-2,即-2lna<2,所以-2-2lna<0,所以f(x)max<0,综上所述,a>ln2-1.2.如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心坐标为M(3,1),半径r=.由A(0,1),F(c,0)(c=)得直线AF:+y=1,即x+cy-c=0.由直线AF与圆M相切,得=.所以c=或c=-(舍去).所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0),将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,因此P的坐标为,即.将上式中的k换成-,得Q.所以直线l的方程为y=+,化简得直线l的方程为y=x-.因此直线l过定点N.
