2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第48讲圆的方程实战演练理1．(2012·天津卷)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(D)A．[1－，1＋]B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C．[2－2，2＋2]D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)解析：∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝r，即d＝＝1，整理得m＋n＋1＝mn，又m，n∈R，有mn≤，∴m＋n＋1≤，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2，故选D.2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝.解析：由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)，B(0,2)，C(0，－2)．易知线段AB的垂直平分线的方程为2x－y－3＝0.令y＝0，得x＝，所以圆心坐标为，则半径r＝4－＝.故该圆的标准方程为2＋y2＝.3．(2014·陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.4．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围．解析：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.1(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2,4)，T(t,0)，TA＋TP＝TQ，所以①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤≤5＋5，解得2－2≤t≤2＋2.因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．2
