高考数学 高频考点名师揭秘与仿真测试 专题10 函数 幂函数 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

10函数幂函数【考点讲解】一、具本目标：1.了解幂函数的概念.2.结合函数的图象,了解它们的变化情况.二、知识概述：1.幂函数的概念(1)一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数的图象的比较如下．2.幂函数的性质：（1）恒过点；（2）在第一象限当时是增函数，当时是减函数；（3）幂函数的图象不经过第四项限.3.判数函数是幂函数的依据：幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．4.在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．5.幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．【真题分析】1.【2018上海卷7】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则α=_____【答案】2.【2014上海,理9】若，则满足的取值范围是.【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【答案】3.【优选题】幂函数在区间上是增函数，则．【解析】若幂函数在区间上是增函数，则由，解得：或，时，，是增函数，时，，是常函数，故答案为．【答案】4.【2017上海南洋模范中学检测】函数的单调递增区间是______________．【解析】本题考点是幂函数型的复合函数的单调区间的考查.由题意可知函数是由外函数幂函数与内函数二次函数复合而成，要遵循同增异减的原则，因为外函数是单调递减函数，所以就要求内函数的减区间，并且要保证内函数作为底数是正数.即，令，在内的减区间为，所以原函数的增区间为.【答案】5.【2016高考新课标Ⅲ文理】已知，，，则（）（A）（B）（C）（D）6.【2014年.浙江卷.文8】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（）【解析】本题考点是幂函数与对数函数的图象判断，由题意可知对于选项A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；选项B,中，中，不符合题意；选项C，中，中，不符合题意；选项D，中，中，符合题意；故选D.【答案】D7.【2017·济南诊断测试】已知幂函数的图象过点，则等于()A.B.1C.D.2【解析】本题考点是幂函数的定义.由幂函数的定义知.又，所以，解得，从而.【答案】C8.已知函数的定义域为，函数在上是减函数，若“”为真，“”为假，试求实数的取值范围．综上，；若为真，则，解有：，由题知：中应一真一假，∴或，∴，故：的取值范围是．【模拟考场】1.【2017湖北稳派教育检测】已知，当时，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B2.当时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是（）A.B.C.D.【解析】当时，下列函数中图象全在直线下方的意义就是，对任意，函数值都小于的函数值，因此有，，，，所以当时，下列函数中图象全在直线下方的函数有和，而函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，所以答案是A.【答案】A3.【2017湖南长沙统一模拟】已知函数，则（）A.，使得B.C.，使得D.使得【解析】，函数的定义域为，函数的值域为，并且函数是单调递增函数，这样A不成立，根据单调性可知也不成立，D.应改为，故选B.【答案】B4.【2017湖南衡阳模拟】已知：幂函数在上单调递增；，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A5.已知幂函数为奇函数，且在上是减函数，则．【解析】由函数为幂函数得，，解得n=1．因为函数在上是减函数，所以，解得．又因,所以,所以．同时满足函数为奇函数，所以.【答案】