第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，所以cosα＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，AB·AD的值为()A．10B．11C．12D．13解析：选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以AB·AD＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足AQ＝2QB，则QC·QD＝()A．－B.C．－D.解析：选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)．又AQ＝2QB，所以Q，所以QC＝，QD＝，所以QC·QD＝＋1＝.故选D.5．如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN等于()A．13B．7C．5D．3解析：选C.连接AP，BP，则PM＝PA＋AM，PN＝PB＋BN＝PB－AM，所以PM·PN＝(PA＋AM)·(PB－AM)＝PA·PB－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝AM·AB－|AM|2＝1×6－1＝5.6．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2＝2a·b，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案：7．已知点M，N满足|MC|＝|NC|＝3，且|CM＋CN|＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得|CM＋CN|2＝|CM|2＋|CN|2＋2CM·CN＝18＋2CM·CN＝20，则CM·CN＝1，故M，N两点间的距离为|MN|＝|CN－CM|＝＝＝4.答案：48．(2019·石家庄质量检测(一))已知AB与AC的夹角为90°，|AB|＝2，|AC|＝1，AM＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，且AM·BC＝0，则的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB＝(0，2)，AC＝(1，0)，BC＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM＝(x，y)，所以AM·BC＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM＝λAB＋μAC，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：9．已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α；(2)若|m－n|＝，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝，即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)法一：由题设知：OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.法二：AB·OC＝tOC2，AB＝(3，5)，t＝＝－.[综合题组练]1．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若AD＝AB，则CD·CB＝()A．－18B．－6C．18D．6解析：选C.法一：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，CA·CB＝0.CD·CB＝(CA＋AD)·CB＝CA·CB...
