第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换(1)考点1半角公式的理解和简单应用1.(2019·山东青岛四校高一下期中考试)已知sin2α=13,则cos2(α-π4)=()。A.-13B.-23C.13D.23答案：D解析：cos2(α-π4)=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=23。2.(2019·安徽芜湖高一上期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为()。A.34B.35C.12D.45答案：B解析：设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725。又β=π2-α2,所以cosβ=cos(π2-α2)=sinα2=❑√1-7252=35,故选B。3.(2019·西安一中单元检测)cosα=725,0<α<π2,则sinα2为()。A.45B.35C.25D.15答案：B解析： α∈(0,π2),sinα2=❑√1-cosα2=❑√1-7252=❑√925=35。4.(2019·浙江诸暨中学高一段考)若θ∈(π,2π),则❑√1-cosθ1+cosθ=。答案：-tanθ2解析： θ∈(π,2π),∴sinθ<0,∴❑√1-cosθ1+cosθ=❑√1-cos2θ(1+cosθ)2=-sinθ1+cosθ=-tanθ2。考点2积化和差公式的理解和简单应用5.(2019·浙江金华一中高一期中考试)已知cos2α-cos2β=m,那么sin(α+β)sin(α-β)=()。A.-m2B.m2C.-mD.m答案：C解析：方法一:sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos2α-cos2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m,故选C。方法二:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-m,故选C。6.(2019·银川一中模块测试)给出下列四个关系式:①sinαsinβ=12[cos(α+β)-cos(α-β)];②sinα·cosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];③cosαcosβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];④cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)]。其中不正确的个数是()。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：①③不正确,②④正确。7.(2019·广州调研)已知sin(θ+π6)·sin(θ-π6)=1120,求tanθ的值。答案： sin(θ+π6)sin(θ-π6)=1120,∴-12[cos(θ+π6+θ-π6)-cos(θ+π6-θ+π6)]=1120,即-12(cos2θ-12)=1120,∴cos2θ=-35。又cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ,∴1-tan2θ1+tan2θ=-35,∴tanθ=±2。考点3和差化积公式的理解和简单应用8.(2019·河南林州一中高二上开学考试)在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则△ABC是()。A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案：B解析：由正弦定理,可得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即sin2A+sin2B=sin2C,由和差化积公式,可得2sin(A+B)·cos(A-B)=2sinCcosC,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cosAcosB=0,所以A=90°或B=90°,故选B。9.(2019·西北工大附中单元测评)下列四个关系式中正确的个数为。(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ;(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ;(3)sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosθ;(4)sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ。答案：0解析：(1)错误,右边应是2sin4θcosθ。(2)错误,右边应是2sin4θsinθ。(3)错误,右边应是-2cos4θsinθ。(4)错误,左边为异名三角函数,应先用诱导公式化同名三角函数后再化积,即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sin(π2-3θ)=2sin(θ+π4)cos(4θ-π4)。10.(2019·哈尔滨模拟)在△ABC中,∠C=60°,则sinA+sinB等于()。A.2sinA+B2B.2cosA-B2C.❑√3sinA-B2D.❑√3cosA-B2答案：D解析： sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2。又∠C=60°,∴∠A+∠B=120°,∴sinA+sinB=2sin60°cosA-B2=❑√3cosA-B2。11.(2019·上海浦东区调考)求值:sin75°-sin15°。答案：sin75°-sin15°=2cos75°+15°2·sin75°-15°2=2cos45°·sin30°=2×❑√22×12=❑√22。考点4半角公式、和积互化公式的灵活应用问题12.(2019·南昌检测)若cos2αsin(α-π4)=-❑√22,则sinα+cosα的值为()。A.-❑√72B.-12C.12D.❑√72答案：C解析：cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)·(cosα+sinα)=❑√2cos(α+π4)·(cosα+sinα)=❑√2sin(π4-α)(cosα+sinα),则cos2αsin(α-π4)=-❑√2(cosα+sinα)=-❑√22,则sinα+cosα=12。13.(2019·遵义调考)若sinθ=35,5π2<θ<3π,则tanθ2+cosθ2的值为()。A.3+❑√1010B.3-❑√1010C.3+3❑√1010D.3-3❑√1010答案：B解...
