题组层级快练(五十七)(第二次作业)1．(2015·皖南十校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A．120°B．30°C．90°D．60°答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(0,0，)，D(0，－，0)，∴AD＝(－，－，0)，BC＝(0，－，)．∴|AD|＝2，|BC|＝2，AD·BC＝2.∴cos〈AD，BC〉＝＝＝.∴异面直线AD，BC所成的角为60°.2．(2015·湖北黄冈中学模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案B解析由题意设棱长为2，如图所示，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心D，连接AD，则DA＝.由勾股定理得A1D＝＝.过B1作B1E⊥底面ABC于点E，连接AE，则B1E＝.如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S＝，所以AB1＝＝2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE＝＝.3．(2015·湖南长沙一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)．∴A1E＝(1,0，－)，A1D1＝(0,1,0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1.∴n＝(1,0,2)．又A1F＝(，1，－1)，∴点F到平面A1D1E的距离为d＝＝＝.4．(2015·河南洛阳模拟)如图(1)所示，在△ABC中，BC＝3，AC＝6，∠C＝90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图(2)所示．(1)求证：BC⊥平面A1DC；(2)若CD＝2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值．答案(1)略(2)解析(1)证明： DE⊥AD，DE∥BC，∴BC⊥AD，∴BC⊥A1D.又 BC⊥CD，A1D∩CD＝D，∴BC⊥平面A1DC.(2)以D为原点，分别以DE，DA1，CD为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz.在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，垂足为F，则EF＝2，BF＝1，BC＝3.∴B(3,0，－2)，E(2,0,0)，C(0,0，－2)，A1(0,4,0)．∴BE＝(－1,0,2)，CA1＝(0,4,2)，BA1＝(－3,4,2)．设平面A1BC的法向量为m＝(x，y，z)，则∴解得令y＝1，则m＝(0,1，－2)．设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ＝＝＝.5．(2014·河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．(1)求证：DE⊥平面PCB；(2)求点C到平面DEB的距离；(3)求二面角E－BD－P的余弦值．答案(1)略(2)(3)解析(1)证明： PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD. DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE. PD＝CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC.又 PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB.(2)如图①所示，过点C作CM⊥BE于点M，由(1)知平面DEB⊥平面PCB， 平面DEB∩平面PCB＝BE，∴CM⊥平面DEB.∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离． PD＝AB＝CD＝2，∠PDC＝90°，∴PC＝2，EC＝，BC＝2.∴BE＝.∴CM＝＝.(3)以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，DE＝(0,1,1)．设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得y＝－1，x＝1.∴平面BDE的一个法向量为n1＝(1，－1,1)．又 C(0,2,0)，A(2,0,0)，AC＝(－2,2,0)，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为n2＝(1，－1,0)．设二面角E－BD－P的平面角为α，则cosα＝＝＝.∴二面角E－BD－P的余弦值为.6．(2014·石家庄质检)四棱锥A—BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF⊥CM，请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．答案(1)总有BF⊥CM(2)解析(1)由俯视图可知平面ABC⊥平面EBCD.BC＝2，O为BC中点，BE＝1，CD＝2. △ABC为等边三角形，F为AC中点，∴BF⊥AC.又平面ABC⊥平面EBCD，且DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BF.又AC∩CD＝C，∴BF⊥平面ACD.∴BF⊥CM.(2)以O为原点，OC为x轴，OA为z轴建系．B(－1,0,0)，C(1,0,0)，E(－1,1,0)...
