4.2.3直线与圆的方程的应用课后篇巩固提升基础巩固1.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2❑√3,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.(-∞,-34]∪[0,+∞)C.[-❑√33,❑√33]D.[-23,0]解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当|MN|=2❑√3时,弦心距最大,由点到直线的距离公式得|3k-2+3|❑√1+k2≤1,解得k∈[-34,0].答案A2.直线❑√3x+y-2❑√3=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析 圆心到直线的距离为d=2❑√32=❑√3,圆的半径为2,∴劣弧所对的圆心角为60°.答案C3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0解析圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是(32,-32),所以直线l的方程是y+32=x-32,即x-y-3=0.答案D4.圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则m-n=()A.10-2❑√7B.5-❑√7C.10-3❑√3D.5-3❑√22解析圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心(2,-3)到(-1,0)的距离为❑√(0+3)2+(-1-2)2=3❑√2<5.∴最大弦长为直径,即m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦,即n=2❑√52-(3❑√2)2=2❑√7.∴m-n=10-2❑√7.答案A5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是()A.(85,65)B.(85,-65)C.(-85,65)D.(-85,-65)解析圆的圆心(0,0),过圆心与直线4x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=6425,所以它与x2+y2=4的交点坐标是(-85,65),(85,-65).又圆上一点与直线4x-3y+12=0的距离最小,所以所求的点的坐标为(-85,65).答案C6.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为.解析圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离为d=5❑√5=❑√5,又知圆C的半径长为3,∴|EF|=2❑√32-(❑√5)2=4,∴S△ECF=12·|EF|·d=12×4×❑√5=2❑√5.答案2❑√57.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),且❑√5<|m|<3❑√5.又易知OA⊥O1A,∴m2=(❑√5)2+(2❑√5)2=25,∴m=±5,∴|AB|=2×❑√5×2❑√55=4.答案48.已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求yx的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.解(1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为r=2.设k=yx,即kx-y=0,则圆心到直线的距离d≤r,即|3k-3|❑√1+k2≤2,平方得5k2-18k+5≤0,解得9-2❑√145≤k≤9+2❑√145.故yx的最大值是9+2❑√145,最小值为9-2❑√145.(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,可得AB为最短,且为|AC|-r=❑√16+9-2=3;AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.9.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2a❑√(x+5)2+y2
