第四章4.54.5.2A组·素养自测一、选择题1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(C)A．x1B．x2C．x3D．x4[解析]用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．2．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的大致区间是(C)A．B．C．D．[解析] f＝＋lg－3＝lg－<0，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，f＝＋lg－3＝lg－<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，f＝＋lg－3＝＋lg>0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C．3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析]由f(x)＝2x＋x3－2得f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，∴f(0)f(1)<0.又 y1＝2x，y2＝x3在(0,1)上单调递增，∴f(x)在(0,1)上单调递增，∴函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点，故选B．4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(A)A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(－1,1)D．[－1,1][解析]记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)的左方，另一个在点(1,0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．二、填空题5．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是__(2)__.x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892(1)(－1,0)；(2)(0,1)；(3)(1,2)；(4)(2,3)．[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．6．函数f(x)＝的零点个数是__2__.[解析]当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.三、解答题7．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求实数a的取值范围．[解析](1)当m＝0时，由f(x)＝x－a＝0，得x＝a，此时a∈R.(2)当m≠0时，令f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，即Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立，则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，即－1≤a≤1.所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，实数a的取值范围是[－1,1]．B组·素养提升一、选择题1．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(C)A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5[解析]依据题意， f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．2．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，)，(0，)，(0，)，则下列说法不正确的是(ACD)A．函数f(x)在区间(0，)内一定有零点B．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点，或零点是C．函数f(x)在区间(，a)内无零点D．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点[解析]根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，)或(，)中或零点是.故选ACD．二、填空题3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝__0.25__.[解析] f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴f(x)在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)，∴x1＝0.25.4．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币．[解析]将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平...
