课时跟踪检测（四十四）简单的三角恒等变换A级——学考水平达标练1．已知2sinα＝1＋cosα，则tan＝()A．B．或不存在C．2D．2或不存在解析：选B2sinα＝1＋cosα，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，tan不存在，当cos≠0时，tan＝.2．若cos2α＝－，且α∈，则sinα＝()A．B．C．D．－解析：选A因为α∈，所以sinα≥0，由半角公式可得sinα＝＝.3．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有()A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a解析：选C由已知可得a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，所以a＜c＜b.4．已知tan2α＝－2，＜α＜，则＝()A．－3＋2B．3－2C．－D．解析：选A因为tan2α＝－2，＜α＜，所以tan2α＝＝－2，解得tanα＝，所以＝＝＝＝－3＋2.5．若sinθ＝，＜θ＜3π，则tan＋cos＝()A．3＋B．3－C．3＋D．3－解析：选B因为＜θ＜3π，所以cosθ＝－＝－.因为＜＜，所以sin＜0，cos＜0，所以sin＝－＝－，cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.6．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：因为3sinx－cosx＝2＝2sin，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.答案：－7．若＝，则sinα＋cosα的值为________．解析：∵＝tan＝，∴sinα＋cosα＝＋＝＝.答案：8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为，由题意可知sinα＝，所以cosα＝±＝±，所以cos＝sin＝＝，所以cos＝或.答案：或9．化简：sin2x＋cos2x.解：原式＝sin2x＋cos2x＝sin2x·＋cos2x＝sin2x·＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.10．已知tan＝，求sin的值．解：∵tan＝，∴sinα＝2sincos＝＝＝＝，cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝.∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.B级——高考水平高分练1．化简＝()A．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：选A原式＝＝＝＝＝1.故选A.2．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.答案：－3．已知θ∈，sin2θ＝，求sinθ.解：因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝＝＝，因为θ∈，所以sinθ＞0，所以sinθ＝.4．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin2α的值．解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.因为＜α＜，所以＜2α＋＜，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sin－cos＝×－×＝.5．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图所示，∵AB为半圆的直径，∴∠APB＝，又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切半圆于P点，∴∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sinα＝sinαcosα＋sin2α＝sin2α＋(1－cos2α)＝sin＋.∵0＜α＜，∴－＜2α－＜，∴当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.
