高考数学一轮复习 课后限时集训23 正弦定理、余弦定理及其应用 理（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课后限时集训(二十三)正弦定理、余弦定理及其应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1.如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50mB．25mC．25mD．50mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m．]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝2sinB，cosC＝－，则＝()A.B．C.D．B[在△ABC中，由sinA＝2sinB及正弦定理，得a＝2b，再由cosC＝－及余弦定理，得＝－，将b＝a代入，得＝－，化简整理得2＝，∴＝，故选B．]3．(2018·永州一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝，且S△ABC＝6，则b＝()A．2B．3C．4D．5C[在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②由cosB＝，得sinB＝，故S△ABC＝ac×＝6，③由①②③得，b＝4.故选C.]4．(2018·珠海二模)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(，)B．(1，)C．(，2)D．(0,2)A[ B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA. a＝1，∴b＝2acosA＝2cosA.又△ABC为锐角三角形，∴∴＜A＜，∴＜cosA＜.即＜b＝2cosA＜，故选A.]5．(2018·秦皇岛一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形D[ acosB＋acosC＝b＋c，∴a·＋a·＝b＋c，∴＋＝b＋c，∴＝b＋c，∴＝b＋c，∴a2－b2－c2＋2bc＝2bc，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形．]二、填空题6．(2019·南宁模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinC，且a＝，A＝，则c＝________.[由sinB＝2sinC及正弦定理可得b＝2c，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则14＝4c2＋c2－4c2×＝7c2，解得c＝.]7．(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，AC·AB＝5，则△ABC的面积是________．[由＝1－及正弦定理，得＝1－，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，所以A＝.因为AC·AB＝bccosA＝c＝5，所以c＝2，所以S△ABC＝bcsinA＝×5×2×＝.]8．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD，则AD的长为________．5[在△ABC中，BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝＝.在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝5，则cos∠ADC＝＝.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即＝－，解得x＝5，所以AD的长为5.]三、解答题9．(2019·武昌模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c.(1)求B；(2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．[解](1)由正弦定理，知2sinBcosC＝2sinA＋sinC，由A＋B＋C＝π，得2sinBcosC＝2sin(B＋C)＋sinC，化简，得2sinBcosC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)＋sinC，即2cosBsinC＋sinC＝0.因为sinC≠0，所以cosB＝－.因为0＜B＜π，所以B＝.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可知b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，因为b＝2，a＋c＝，所以22＝()2－2ac－2accos，得ac＝1.所以S△ABC＝acsinB＝×1×＝.10.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，AC＝2，∠ADC＝∠CAB＝90°，设∠ACD＝θ.(1)若θ＝60°，求BD的长度；(2)若∠ADB＝30°，求tanθ.[解](1) 在Rt△ADC中，AC＝2，∠ACD＝θ＝60°，∴AD＝ACsin60°＝.又在△ABD中，AB＝2，∠BAD＝120°，∴BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD＝()2＋(2)2－2××2cos120°＝21，∴BD＝.(2) 在Rt△ADC中，∠ACD＝θ，AC＝2，∴AD＝ACsinθ＝2sinθ.又在△ABD中，∠ADB＝30°，∠CAB＝90°，∴∠CAD＋∠ABD＝180°－∠ADB－∠CAB＝60°，∴∠ABD＝60°－∠CAD＝60°－(90°－θ)＝θ－30°.∴在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝＝4，∴＝2，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.B组能力提升1．(2019·郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为3...