2018年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第23讲解三角形应用举例实战演练理1．(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是(D)A．B．C．D．解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．设PH＝x，则CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得AH＝＝，tan∠PAH＝＝，故当＝时，最大值为.2．(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100m.解析：依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB．∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由＝，得＝，有CB＝300，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100，则此山的高度CD＝100m.3．(2011·上海卷)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C之间的距离为千米．1解析：∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．4．(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为dm，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋5t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙距离最短．(3)由＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C．设步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．2
