课时分层作业(九)垂直关系的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于lD[由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且lα，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，lβ，所以l∥β.由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l.]2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n;④⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．4C[①②③正确，④中n与α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．]3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A，B，D中，m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故选C.]4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[ BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. AC平面ABC，∴l⊥AC.]5．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直C[如图所示，在四边形ABCD中， AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC. 平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.]二、填空题6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．a⊥β[过a作平面γ与平面α相交于a′. a∥α，∴a∥a′. a⊥AB，∴a′⊥AB.又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.]7．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．6[ CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交点为AB，∴CO⊥平面ABD. OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．]8．如图，直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________.[如图，连接BC， 二面角αlβ为直二面角，ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BDβ，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.]三、解答题9．如图所示，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.[证明] 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴PA⊥BC.又 AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．[解]PA与BD垂直，证明如下：如图，取BC的中点O，连接PO，AO， PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，∴PA与BD相互垂直．1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[①中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，mα时，只可能有m∥α，正确；③中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上可知正确命题的个数为1，故选B.]2．如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC...
