2.2.4均值不等式及其应用A级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5答案C解析由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．故选C.2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.＋≥2答案D解析根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立．3．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.≥8B.＋≥4C.≥D.≤答案B解析∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故A，C不正确．对于D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D不正确．对于B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.4．已知y＝x＋－2(x＜0)，则y有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4答案C解析∵x＜0，∴－x＞0.∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号．故选C.5．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是()A．4B．6C．8D．10答案B解析∵x>1，∴＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，“＝”成立，所以a≤6.故选B.二、填空题6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．答案≤解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．答案解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，∴＋＝(a＋2b)×＝≥＋＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，∴＋的最小值为.故答案为.8．函数y＝(x＞－1)的最小值为________．答案4＋1解析由题意知，函数y＝＝2(x＋1)＋＋1.∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y＝2(x＋1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时等号成立．故函数的最小值为4＋1.三、解答题9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b.又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立，∴＋＋＞a＋b＋c.10．(1)已知正数a，b满足a＋4b＝4，求＋的最小值；(2)求y＝的最大值．解(1)因为a，b＞0，且a＋4b＝4，所以＋＝(a＋4b)＝≥＝，当且仅当a＝2b＝时取等号，所以＋的最小值为.(2)令t＝(t≥)，则y＝＝≤＝，当且仅当t＝2，即k＝±时，取得等号．故y的最大值为.B级：“四能”提升训练1．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.解x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时取等号．故x＋y的最小值为(＋)2＝18，即a＋b＋2＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得或2．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．解由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈(－∞，4]．
