压轴题提分练(二)1．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB＋AD·CB＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．解析：(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.因为椭圆的离心率为，所以＝，又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)可知F(－1,0)，则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．联立消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又A(－，0)，B(，0)，所以AC·DB＋AD·CB＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8，解得k＝±.从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.所以|x1－x2|＝＝＝，|CD|＝|x1－x2|＝×＝.而原点O到直线CD的距离为d＝＝＝，所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.2．已知函数f(x)＝ex－ax－1(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若x1ln2，且f(x1)＝f(x2)，试证明：x1＋x2＜2ln2.解析：(1)由f(x)＝ex－ax－1得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2.由f′(x)＝ex－2>0得x>ln2.所以函数y＝f(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．(2)证明：设x>ln2，所以2ln2－xln2)，则g′(x)＝ex＋4e－x－4≥2－4＝0，当且仅当x＝ln2时，等号成立，所以g(x)＝f(x)－f(2ln2－x)在(ln2，＋∞)上单调递增．又g(ln2)＝0，所以当x>ln2时，g(x)＝f(x)－f(2ln2－x)>g(ln2)＝0，即f(x)>f(2ln2－x)，所以f(x2)>f(2ln2－x2)，又因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)>f(2ln2－x2)．由于x2>ln2，所以2ln2－x2
