第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式考点1利用两角差的余弦公式求解“给角求值”问题1.(2019·四川广安高二期末)cos80°·cos35°+sin80°·cos55°的值是()。A.❑√22B.-❑√22C.12D.-12答案:A解析：cos80°·cos35°+sin80°·cos55°=cos80°·cos35°+sin80°·sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=❑√22。2.(2019·沈阳模拟)cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为()。A.0B.12C.❑√32D.-12答案:B解析：cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=12。3.(2019·山东滨州高二期末)cos165°等于()。A.12B.❑√32C.-❑√6+❑√24D.-❑√6-❑√24答案:C解析：cos165°=cos(180°-15°)=-cos15°=-cos(45°-30°)=-(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=-❑√6+❑√24。故选C。4.(2019·河南商丘九校高二期末联考)cos(-40°)·cos20°-sin(-40°)sin(-20°)=。答案:12解析：原式=cos(-40°)cos20°+sin(-40°)sin20°=cos(-40°-20°)=cos(-60°)=cos60°=12。5.化简:2cos10°-sin20°cos20°=。答案:❑√3解析：原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20°cos20°=❑√3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=❑√3cos20°cos20=❑√3。考点2利用两角差的余弦公式求解“给值求值”问题6.(2019·广西南宁高二期中)已知cosα=-35,α∈(π2,π),sinβ=-1213,β是第三象限角,则cos(β-α)的值是()。A.-3365B.6365C.5665D.-1665答案:A解析：因为α∈(π2,π),所以sinα=45。因为β是第三象限角,所以cosβ=-513,所以cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3365。7.已知cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=❑√32,则cos(α-β)=()。A.-12B.-❑√32C.12D.1答案:A解析：由cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=❑√32,两边平方并相加得(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(❑√32)2=1,∴2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1,2(cosαcosβ+sinαsinβ)=-1,∴cos(α-β)=-12。8.(2019·北京海淀科大附中高二期中)若cos(α-β)=13,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=()。A.83B.-83C.2❑√23D.-2❑√23答案:A解析：原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=2+2×13=83。9.已知sin(π6+α)=35,π3<α<5π6,则cosα的值是()。A.3-4❑√310B.4-3❑√310C.2❑√3-35D.3-2❑√35答案:A解析： π3<α<5π6,∴π2<π6+α<π,∴cos(π6+α)=-❑√1-sin2(π6+α)=-45。∴cosα=cos[(π6+α)-π6]=cos(π6+α)cosπ6+sin(π6+α)·sinπ6=-45×❑√32+35×12=3-4❑√310。10.已知cos(α-π3)=cosα,则tanα=。答案:❑√33解析：cos(α-π3)=cosαcosπ3+sinαsinπ3=12cosα+❑√32sinα=cosα,∴❑√32sinα=12cosα,∴sinαcosα=❑√33,即tanα=❑√33。11.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,则cos(α+π4)=。答案:−5665解析： α,β∈(3π4,π),∴α+β∈(3π2,2π),β-π4∈(π2,3π4)。又 sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,∴cos(α+β)=❑√1-sin2(α+β)=45,cos(β-π4)=-❑√1-sin2(β-π4)=-513。∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=45×(-513)+(-35)×1213=-5665。【归纳总结】先分析已知角与所求角之间的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,造成不必要的麻烦,要认真考虑角的整体运用,恰当运用拆角、拼角等技巧。如α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+β,2α=(α+β)+(α-β),α+π4=π2-(π4-α)等。考点3利用两角差的余弦公式求解“给值求角”问题12.(2019·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α,β均为锐角,且sinα=❑√55,cosβ=❑√1010,则α-β的值为。答案:-π4解析： α,β∈(0,π2),∴cosα=2❑√55,sinβ=3❑√1010。 sinα
